平面向量教案（通用2篇）

平面向量教案 篇1

　　二、复习要求

　　1、 向量的概念;

　　2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

　　3、向量运算的运用

　　三、学习指导

　　1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

　　向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

　　2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。

　　向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

　　主要内容列表如下:

　　运 算 图形语言 符号语言 坐标语言

　　加法与减法

　　=

　　- =

　　记 =(x1,y1), =(x1,y2)

　　则 =(x1 x2,y1 y2)

　　- =(x2-x1,y2-y1) =

　　实数与向量

　　的乘积

　　=λ

　　λ∈r 记 =(x,y)

　　则λ =(λx,λy) 两个向量

　　的数量积

　　· =| || |

　　cos< , >

　　记 =(x1,y1), =(x2,y2)

　　则 · =x1x2 y1y2

　　3、 运算律

　　加法: = ,( ) = ( )

　　实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

　　(λμ)

　　两个向量的数量积: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·

　　说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=

　　4、 重要定理、公式

　　(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。

　　根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。

　　向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)

　　(2)两个向量平行的充要条件

　　符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ

　　坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

　　在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ<0。

　　|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

　　(3)两个向量垂直的充要条件

　　符号语言: ⊥ · =0

　　坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0

　　(4)线段定比分点公式

　　如图,设

　　则定比分点向量式:

　　定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

　　则

　　特例:当λ=1时,就得到中点公式:

　　,

　　实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

　　(5)平移公式:

　　① 点平移公式,如果点p(x,y)按 =(h,k)平移至p'(x',y'),则

　　分别称(x,y),(x',y')为旧、新坐标, 为平移法则

　　在点p新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标

　　②图形平移:设曲线c:y=f(x)按 =(h,k)平移,则平移后曲线c'对应的解析式为y-k=f(x-h)

　　当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移

　　利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质

　　(6)正弦定理,余弦定理

　　正弦定理:

　　余弦定理:a2=b2 c2-2cbcosa

　　b2=c2 a2-2cacosb

　　c2=a2 b2-2abcosc

　　定理变形:cosa= ,cosb= ,cosc=

　　正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。

　　5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的"程序性"特点。

　　四、典型例题

　　例1、如图, , 为单位向量, 与 夹角为1200, 与 的夹角为450,| |=5,用 , 表示 。

　　分析:

　　以 , 为邻边, 为对角线构造平行四边形

　　把向量 在 , 方向上进行分解,如图,设 =λ , =μ ,λ>0,μ>0

　　则 =λ μ

　　∵ | |=| |=1

　　∴ λ=| |,